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Einrichtungen >> Naturwissenschaftliche Fakultät (Nat) >> Department of Data Science (DDS) >> Lehrstuhl für Partial Differential Equations >>
Regularitätstheorie Systeme nichtlinearer elliptischer Gleichungen und quasikonvexer Variationsintegrale

Inhalt dieses Projektes sind Regularitätsuntersuchungen an schwachen Lösungen allgemeiner elliptischer Systeme in Divergenzform bzw. an Minima oder sog. Fast-Minimierern quasikonvexer Integrale.

Im Falle einer einzelnen Gleichung ist bekannt, dass sehr milde Voraussetzungen an die Koeffizienten die Regularität von schwachen Lösungen garantieren. Bei Systemen partieller Differentialgleichungen ist die Situation anders: Selbst in ganz einfachen Fällen (z.B. einer Lösung eines gleichmäßig elliptischen Systems zweiter Ordnung, die ein reguläres Variationsintegral minimiert) können schwache Lösungen Unstetigkeitsstellen aufweisen; sie haben also eine nichtleere singuläre Menge.

In der Regularitätstheorie versucht man zum einen die maximale Größe dieser singulären Mengen abzuschätzen, zum anderen optimale Regularitätsaussagen an Stetigkeitsstellen zu zeigen. Beweise existierender Resultate in diesem Bereich sind technisch sehr anspruchsvoll; darüber hinaus sind sie - aufgrund der angewendeten Techniken - meist nicht optimal. Motiviert durch Techniken der geometrischen Maßtheorie wurde ein neuer Zugang - die Methode der harmonischen Approximation - entwickelt und eingesetzt.

Im Berichtszeitraum ist eine Reihe von Arbeiten entstanden, welche nicht nur bereits entstandene Aussagen der Regularitätstheorie verallgemeinern, vereinheitlichen und signifikant vereinfachen, sondern auch neue, mit herkömmlichen Methoden nicht ableitbare, optimale Resultate enthalten. Das Projekt wird mit dem Studium nicht-Newtonischer Flüssigkeiten, bzw. elektrorheologischer Flüssigkeiten, allgemeiner degeniert elliptischer Systeme partieller Differentialgleichungen sowie allgemeiner parabolischer Systeme fortgesetzt.

Projektleitung:
Prof. Dr. Frank Duzaar

Beteiligte:
PD Dr. Joseph Francis Grotowski, Dr. Manfred Kronz, Prof. Dr. Andreas Gastel

Stichwörter:
Partielle Regularität; singuläre Menge; elliptische Systeme

Beginn: 1.1.1998

Förderer:
Deutsche Forschungsgemeinschaft

Publikationen
Gastel, Andreas ; Grotowski, Joseph F.: Partial regularity for almost minimizers of quasi-convex integrals. In: SIAM J.M. Anal. 32 (2000), Nr. 3, S. 665-687
Grotowski, Joseph F.: Optimal interior partial regularity for nonlinear elliptic systems: The method of $A$-harmonic approximation. In: Manuscr. Math. 103 (2000), Nr. 3, S. 267-298
Grotowski, Joseph Francis: Boundary regularity results for nonlinear elliptic systems. Erlangen-Nürnberg, Friedrich-Alexander-Universität, Habil-Schr., 2001
Gastel, Andreas ; Grotowski, Joseph F. : Optimal partial regularity for nonlinear elliptic systems of higher order. In: J. Math. Sci. Univ. Tokyo 8 (2001), Nr. 3, S. 463-499
Gastel, Andreas: Nonlinear elliptic systems with Dini continuous coefficients. In: Arch. Math. 78 (2002), Nr. 1, S. 58-73
Kronz, Manfred: Partial regularity results of minimizers of quasiconvex functionals of higher order. In: Ann. Inst. H. Poincaré - Analyse non linéaire 19 (2002), S. 81-112
Kronz, Manfred: Regularity of $\omega$-minimizers of quasi-convex variational integrals with polynomial growth. In: Differ. Geom. Appl. 17 (2002), Nr. 2-3, S. 139-152
Grotowski, Joseph Francis: Boundary regularity for nonlinear elliptic systems. In: Calc. Var. Partial Differ. Equ. 15 (2002), Nr. 3, S. 353-388
Grotowski, Joseph Francis: Boundary regularity for for quasilinear elliptic systems. In: Commun. Partial Differ. Equations 27 (2002), Nr. 11-12, S. 2491-2512
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