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Geometrische Flüsse

In diesem Forschungsprojekt werden zwei geometrische Flüsse, der Yang-Mills-Fluss und der Ricci-Fluss untersucht. Der Yang-Mills-Fluss ist der zum Yang-Mills-Funktional assoziierte Gradientenfluss. Dieser Fluss hat seinen Ursprung in der Eichtheorie. Es stellen sich für diesen Fluss analog zum Wärmefluss für harmonische Abbildungen Fragen nach der (Kurzzeit-) Existenz von Lösungen, zum asymptotischen Verhalten oder zur Entwicklung von Singularitäten in endlicher oder unendlicher Zeit. Obwohl der Yang-Mills-Fluss eine Reihe qualitativer Analogien zum Wärmefluss für harmonische Abbildungen aufweist, ergeben sich signifikante Unterschiede aufgrund der Eichinvarianz des Yang-Mills-Flusses, welche die Behandlung der o.g. Fragen verkompliziert.

Es wurden im Berichtszeitraum Ergebnisse über die Existenz von Anfangsdaten gewonnen, die zur Entwicklung von Singularitäten in endlicher Zeit führen. Seit Ende 2000 wurden - gemeinsam mit P. P. Schirmer, Sao Paulo und Jl Shatah, New York University - Gemeinsamkeiten des 4-dimensionalen Yang-Mills-Flusses und des 2-dimensionalen Wärmeflusses für harmonische Abbildungen untersucht. Die Motivation dieser Untersuchung ist die konforme Invarianz beider Probleme und die Tatsache, dass noch nicht bekannt ist, ob Singularitäten im 4-dimensionalen Yang-Mills-Fluss vorkommen können (im Gegensatz zur Situation beim Wärmefluss).

Der andere hier interessierende Fluss ist der Ricci-Fluss, welcher im Zusammenhang mit dem Auffinden von in gewisser Art "kanonischen" Metriken auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten in den letzten beiden Jahrzehnten untersucht wurde. Für viele geometrische Flüsse, wie etwa dem Fluss harmonischer Abbildungen oder dem Yang-Mills-Fluss ist die Möglichkeit einer nicht eindeutigen Fortsetzung einer Lösung (nach einer in endlicher Zeit auftretenden Singularität) bekannt. Seit Mitte 2001 wird zusammen mit Andreas Gastel aus Düsseldorf versucht, ein explizites Beispiel zu konstruieren, welches das Phänomen der Nichteindeutigkeit auch beim Ricci-Fluss zeigt.

Projektleitung:
PD Dr. Joseph Francis Grotowski, Dr. Manfred Kronz

Beteiligte:
Prof. Dr. P. P. Schirmer (Sao Paulo), Prof. Dr. J. Shatah (New York), Dr. A. Gastel (Düsseldorf)

Stichwörter:
Yang-Mills flow; gauge-theory; Ricci-flow; blow-up

Beginn: 1.1.1998

Förderer:
Deutsche Forschungsgemeinschaft

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