Analysis (Ana)17.5 ECTS
(Prüfungsordnungsmodul: Analysis)

Lehrveranstaltungen:

• Analysis I
  • Analysis I (WS 2013/2014)
    (Vorlesung, 4 SWS, Andreas Knauf, Mo, Do, 12:00 - 14:00, H11; ab 17.10.2013)
  • Übungen zur Analysis I (WS 2013/2014)
    (Übung, 2 SWS)
• Analysis II
  • Analysis II (SS 2014)
    (Vorlesung, 4 SWS, Andreas Knauf, Mo, 8:00 - 10:00, H11; Do, 10:00 - 12:00, H11)
  • Übungen zur Analysis II (SS 2014)
    (Übung, 2 SWS, Andreas Knauf)

Inhalt:

Analysis I:

• Naive Mengenlehre und Logik

• Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, unter/obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Menge;

• Komplexe Zahlen: Rechenregeln und geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen;

• Metrische und normierte Räume: Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit;

• Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte;

• Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktion, trigonometrische Funktionen, Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus;

• Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz;

• Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen: Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Analysis II:

• Fourier-Reihen

• Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli

• Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi-Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und sSchrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel,Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten.

Lernziele und Kompetenzen:

• Verständnis grundlegender analytischer Begriffe

• Aneignung von Basiswissen der Analysis

• Verwendung der Techniken der Analysis in Anwendungen: Berechnung von Limiten; Ableitung und Integration bzw. Erkennen der Divergenz; Umgang mit elementaren Funktionen

• Fähigkeit relevante Informationen zu sammeln und Zusammenhänge zu erkennen

Literatur:

• Vorlesungsskripte zu diesem Modul

• O.Forster: Analysis 1, 2. Vieweg

• V. Zorich: Analysis I, II. Springer

• Hildebrandt: Analysis I, II. Springer

Organisatorisches:

• Bachelor Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik (1. und 2. Semester)

• Lehramt vertieft (1. und 2. Semester)

• Analysis I ist Teil der Mathematik für Physiker I für Bachelor Physik

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:

1. Mathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2009 | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis (Ana))

Studien-/Prüfungsleistungen:

Analysis I und II (Prüfungsnummer: 50001)

Prüfungsleistung, Klausur, Dauer (in Minuten): 120-180, benotet

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: SS 2014, 1. Wdh.: WS 2014/2015

1. Prüfer:

Andreas Knauf

Termin: 29.08.2014, 09:00 Uhr, Ort: H7/H9/H11/H12/H13

Analysis I Übungen (Prüfungsnummer: 50002)

Prüfungsleistung, Studienleistung, unbenotet

Erstablegung: WS 2013/2014, 1. Wdh.: WS 2013/2014

1. Prüfer:

Andreas Knauf

Analysis II Übungen (Prüfungsnummer: 50003)

Prüfungsleistung, Studienleistung, unbenotet

Erstablegung: SS 2014

1. Prüfer:

Andreas Knauf